Türetim programı, birinci adım: eşitlik oranı 1 + z_eq neyi saymalı? (ilk deneme)

1. Soru

Türetim programının birinci işi (notun 4d bölümü): madde ile ışınımın eşitlendiği anın oranı 1 + z_eq, sistemin kendi kurallarından çıkabilir mi? Bugünkü formül √(14³·8⁴) = 3 352.5 türetimsizdir ve rastlantı testini geçemedi (açık nokta 123). Bu not üç şey yapar: hedefe bakmadan sistemin kendi saatini dener; hedefin aslında hangi fiziksel sayıyı sorduğunu yazar; sonraki denemeler için ölçüyü koyar.

2. Deneme: katman saati eşitliği bir katman sınırına koyuyor mu? — denendi, çıkmadı

Sistemin tek zaman haritası katman saatidir (D51): 1 + zₙ = 32^(3(7−n)/4) ≈ 13.45^(7−n), n = 7 bugün. Hedefe bakmadan sorulabilecek en doğal soru şudur: madde ile ışınımın yer değiştirdiği an, bir katmanın başlangıcı ya da ortası mıdır? Öyleyse sayı katman kuralından çıkar.

Ölçülen eşitlik (≈ 3 390) n ≈ 3.87'ye düşer: G₄'ün başlangıcından 0.13 adım önce. Ne tam sınır ne yarım adım. Katman saati eşitliği öngörmez; bu yol kapandı. (Not: 2 435 ölçümden %28 uzaktır; bunu "yakın" saymak veriye uydurma olurdu.)

3. Hedef aslında neyi soruyor?

Tek çapa T₀ verildiğinde ışınımın bugünkü yoğunluğu ω_r = ω_γ(1 + 0.2271 N_eff) standart fizikle bellidir (ω_γ = 2.473 × 10⁻⁵). Bu yüzden 1 + z_eq = ω_cb/ω_r demek, maddenin bugünkü fiziksel yoğunluğunu söylemek demektir. Atomların payı f_b sabitse bu, foton başına kaç baryon olduğunu (η = n_b/n_γ) söylemekle aynıdır:

1 + z_eq ≈ (η / f_b) · (30ζ(3)/π⁴) · (m_p c² / k_B T₀) / (1 + 0.2271 N_eff) = (η / f_b) · 8.74 × 10¹¹

(η₁₀ değerleri bu tabloda aynı basit bağıntıyla, helyumun bağlanma enerjisi ve nötrino kütlesi ihmal edilerek; CAMB'ın ω_b'sinden 273.4·ω_b ile hesap 6.06 ve 6.13 verir.)

Sonuç: eşitlik oranı saf bir sayım değildir. İçinde iki ölçek oranı vardır: protonun kütlesinin bugünkü foton enerjisine oranı (m_p c²/k_B T₀ ≈ 4 × 10¹²; standart fizik ve çapadan gelir) ve η ≈ 6 × 10⁻¹⁰ (evrenin ilk anlarında madde–karşı madde dengesizliğinden kalan sayı). Sistem 1 + z_eq'yi türetmek istiyorsa, aslında foton başına madde sayısını (η ve karanlık maddenin atomlara oranı) kendi içinden çıkarmalıdır. Bu, sayım dilinde sorulabilecek bir sorudur ("bir milyar ışık parçacığına kaç atom düşer?"), ama √(14³·8⁴) bu soruya bir cevap değildir: formül ne η'yı ne m_p/k_B T₀'ı içerir. Kitabın formülü sayısal olarak doğru büyüklükte çıkıyorsa, bu ancak iki büyük sayının oranının rastlantıyla 14 ve 8'in kuvvetlerine yakın düşmesidir.

4. CAMB ile tanı: üç uyuşmazlığın ortak nedeni

Ω_m = 17/54, f_b = 17/108, kitabın w(a)'sı ve T₀ sabit tutulup yalnız 1 + z_eq değiştirildi:

Okuma: θ'ı tutturan tek bir sayı, yaş ve ses ufku boyunu da kendiliğinden tutturuyor. Yani karnedeki kırmızı ve iki sarı satırın nedeni ayrı ayrı değil, tek bir sayıdır*: eşitlik oranı. Madde payı 17/54 bu üç ölçümle çelişmiyor; tersine, Ω_m'yi değiştirmek r_drag'ı düzeltemezdi, çünkü r_drag yalnız ω_m ve ω_b'ye (yani 1 + z_eq'ye ve f_b'ye) bağlıdır. (17/108 zaten girdidir, sınanmıyor.) Bu bir tanıdır, destek değildir: 3 391 ölçüme bakılarak bulunmuştur ("veriye ayarlandı"); bu değerle karne yeniden yazılmaz.

5. Rastlantı ölçüsü: bundan sonraki bir formül ne zaman değerli olur?

Açık nokta 123'teki sayı uzayı ({2, 3, 7, 8, 14}'ten bir ya da iki tabanın 0–6 arası yarım adımlı kuvvetleri, 300–30 000 arası) 299 farklı değer verir. Bunların ardışık değerleri arasındaki ortalama logaritmik boşluk 0.0153, ortak hedef penceresinin (3 391 ± 2σ = ± 12.5) logaritmik genişliği 0.0074. Rastgele seçilen bir ifadenin pencereye düşme olasılığı yaklaşık 0.0074/0.0153 ≈ %48. Gerçekten de uzayda pencereye düşen iki ifade var: 2^0.5·7⁴ = 3 395.5 ve 3⁵·14 = 3 402. İkisi de hedef bilindikten sonra bulunur; öngörü değildir, kitaba girmez.

Ölçü: bir türetim ancak (a) hedefe bakmadan, (b) sistemin bir kuralından tek ya da en çok birkaç aday ifade üretiyorsa ve (c) aynı kural başka bir ölçülebilir sayıyı (ör. η'yı ayrı olarak, ya da atomların payını) ayarsız veriyorsa değer kazanır. Bu uzayda "bir formül buldum" demek yazı tura atmaktan güçlü değildir.

6. Sonuç ve sonraki adım

• Denendi, çıkmadı: katman saati eşitliği öngörmez (n ≈ 3.87).
• Yeniden tanım: 1 + z_eq türetimi = foton başına madde sayısının (η, karanlık madde/atom oranı) türetimi. Sistemde bu sayıyı veren bir kural bugün yok (kitap F1 parçacık üretimini anlatır ama madde–karşı madde dengesizliği için sayı vermez; açık nokta 121 ile aynı boşluk: ilk saat).
• Tanı: üç CMB uyuşmazlığının (θ*, yaş, r_drag) tek nedeni bu sayıdır; 17/54 bu sınamayla çelişmez.
• Statü değişmedi: eşitlik oranı "türetim yok, rastlantı testi kaldı" olarak kalır; karne değişmedi.
• Sonraki adım (türetim programı, ikinci iş): sayım → enerji köprüsü (17/54). Eşitlik oranı için bir sonraki deneme ancak sistem η için bir sayım kuralı önerirse yapılır.

7. Kod

import camb, math
from scipy.optimize import brentq
NEFF, MNU, OM, FB, W0, WA, T0 = 3.044, 0.059, 17/54, 17/108, -0.9815, -0.029, 2.72548
kB, hbar, c, G = 1.380649e-23, 1.054571817e-34, 2.99792458e8, 6.67430e-11
RHOC100 = 3*(100e3/3.0856775814913673e22)**2/(8*math.pi*G)
og = math.pi**2*kB**4/(15*hbar**3*c**3)*T0**4/c**2/RHOC100      # 2.4729e-5
orad = og*(1 + 7/8*(4/11)**(4/3)*NEFF)                          # 4.1825e-5
def model(Z1):
    ocb = Z1*orad; om = ocb + MNU/93.14; h = math.sqrt(om/OM); ob = FB*om
    p = camb.CAMBparams()
    p.set_cosmology(H0=100*h, ombh2=ob, omch2=ocb-ob, mnu=MNU, nnu=NEFF, TCMB=T0, omk=0, num_massive_neutrinos=1)
    p.set_dark_energy(w=W0, wa=WA, dark_energy_model="ppf")
    d = camb.get_background(p).get_derived_params()
    return 100*h, ob, d["age"], d["thetastar"], d["rdrag"]
Zc = brentq(lambda Z: model(Z)[3] - 1.04110, 3300, 3500)        # 3391.35 (1σ: 3385.1–3397.6)
print(model(math.sqrt(14**3*8**4)), model(Zc))
# η bağı
mp, z3 = 1.67262192369e-27, 1.2020569031595942
coef = 30*z3/math.pi**4*mp*c**2/(kB*T0)/(1 + 7/8*(4/11)**(4/3)*NEFF)   # 8.7445e11
print("eta10 kitap", 1e10*3352.525*FB/coef, "hedef", 1e10*Zc*FB/coef)  # 6.03, 6.10
# katman saati
s = 32**0.75; print("n_eq", 7 - math.log(Zc)/math.log(s))       # 3.87

Rastlantı uzayı: {2, 3, 7, 8, 14}'ten tek taban ya da iki tabanın çarpımı, üsler 0–6 arası 0.5 adımla, 300–30 000 arası; aynı değeri veren ifadeler bir kez sayılır (299 farklı değer). Planck 3 388 ± 42 penceresinde 4 değer (kitabınki en uzağı), θ* ortak penceresinde (3 391 ± 12.5) 2 değer.